根気がなく、細かくて地道な作業をやっているとイライラします。絵を描いたりするのも途中で飽きてしまいます。どうすれば根気が身に付きますか?

根気は身につきません!(笑)
興味のないことをしていると、途中で飽きたりイライラしたり、集中力が続かないのは当然のことです。私も全然興味のないことに対して集中力は続かないです。飽子さんは絵を描くのは好きなのかな?絵を描くことが好きだと仮定して、「絵」と一言で言っても、種類がたくさんあるので飽子さんはまだ「この絵が描きたい」というものに出会えていないだけかもしれないですよ。純粋に「描きたい」と思えるものを探してみたらいいんじゃないでしょうか。
身につかない、と言いましたが人はもともとある程度の根気は持っていると思うので、絵を描く事以外にも自分が夢中になるものに出会えたらその根気を発揮できて飽きることもなくなりますよ。